Question

已知k為不超過50的正整數，使得對任意正整數n，2×3⁶ⁿ+k×2³ⁿ⁺¹-1都能被7整除，則這樣的正整數k有______個．

Answer 1

2×3⁶ⁿ+k×2³ⁿ⁺¹-1=2×27²ⁿ+2k×8ⁿ-1=2×（28-1）²ⁿ+2k×（7+1）²ⁿ
=2×（-1）²ⁿ+2k-1=2k+1（mod7），
但2×3⁶ⁿ+k×2³ⁿ⁺¹-1=0（mod7），
2k+1=0（mod7），即2k+1=7m（m為奇數），
因為1≤k≤50，所以3≤7m≤101，
故m=1、3、…13，相應的k=3、10、…、45共7個．
故答案為7．