Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂相交，大圓⊙O₁的弦AB⊥O₁O₂，垂足是F，且交⊙O₂于點C，D，過B作⊙O₂的切線，E為切點，已知BE=DE，BD=m，BE=n，AC，CE的長是關于x的方程x²+px+q=0的兩個根．
（1）求證：AC=BD；
（2）用含m，n的代數式分別表示p和q；
（3）如果關于x的方程qx²-（m²+mp）x+1=0有兩個相等的實數根，且∠DEB=30°，求⊙O₂的半徑．

Answer 1

解：（1）∵O₁F⊥AB，
∴FA=FB．
∵O₂F⊥CD，
∴FC=FD，
∴AC=BD；

（2）∵BE和⊙O₂切于點E，
∴BE²=BD•BC，
∴BC==，
又∵∠BCE=∠DEB，∠B=∠B，
∴△CBE∽△EBD，
∴，
∵BE=DE，
∴CE=CB=，
又∵AC=BD=m，
∴p=-（AC+CE）=-（m+）=-，q=AC•CE=m•=n²；

（3）∵方程qx²-（m²+mp）x+1=0有兩個相等的實數根，
而p=-•q=n²，
∴△=[-（m²+mp）]²-4q=（-n²）²-4n²=0．
由n＞0，
解得n=2．
連接O₂D，O₂E．
又∵∠DEB=30°，∠BEO₂=90°，
∴∠O₂ED=60°，
∴△O₂ED是等邊三角形，
∴O₂E=DE=BE=2，
即⊙O₂的半徑是2．
分析：（1）由垂徑定理可知FA=FB，FC=FD，所以AC=BD；
（2）由已知條件證明△CBE∽△EBD可得：BC==，證明△CBE∽△EBD可得，因為BE=DE，所以CE=CB=，又AC=BD=m，所以p=-（AC+CE）=-（m+）=-，q=AC•CE=m•=n²；
（3）因為方程qx²-（m²+mp）x+1=0有兩個相等的實數根，所以△=[-（m²+mp）]²-4q=（-n²）²-4n²=0，連接O₂D，O₂E，證明△O₂ED是等邊三角形，即可得到O₂E=DE=BE=2．
點評：本題考查了垂徑定理、相似三角形的判定和性質、根的判別式的應用以及等邊三角形的判定和性質，此題將兩圓相交的條件以及和兩圓相關的線段和角巧妙地結合起來，使之成為一個有機的整體，要充分利用它們之間的關系．