Question

在下列語句中，敘述正確的個數為（　　）
①相等的圓周角所對弧相等； ②同圓或等圓中，同弦或等弦所對圓周角相等；
③一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形；  ④等弧所對圓周角相等．

Answer 1

分析：①等弧是針對于同圓或等圓來說的，它不適用于大小不等的圓，若沒有條件“在同圓或等圓中”，相等的圓周角所對弧不一定相等，此沒有為假命題；
②同圓或等圓中，同弦或等弦所對圓周角不一定相等，可畫出圖形，舉出反例說明此命題為假命題，如圖所示；
③此命題為真命題，可根據命題畫出圖形，找出已知與求證，根據中點的定義得到CD與BD相等，都為BC的一半，又AD也為BC的一半，故AD與CD相等，AD與BD相等，利用等邊對等角可得兩對角相等，又根據三角形的內角和定理得到兩對角之和為180°，等量代換可得∠BAC為直角，可得三角形ABC為直角三角形，得證；
④根據等弧所對圓周角相等正確．等弧是指在同圓或等圓．

解答：解：①在同圓或等圓中，相等的圓周角所對弧相等，
等弧是針對于同圓或等圓來說的，它不適用于大小不等的圓，此命題為假命題；
②同圓或等圓中，同弦或等弦所對圓周角不一定相等，
如圖：BC為圓O的弦，∠A與∠D都為弦BC所對的圓周角，
但是∠A與∠D互補，不一定相等，
此命題為假命題；

③“一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形”，此命題為真命題，理由為：
已知：△ABC中，AD為BC邊上的中線，且AD=

1

2

BC，
求證：△ABC為直角三角形．

證明：∵AD為BC邊上的中線，
∴CD=BD=

1

2

BC，又AD=

1

2

BC，
∴CD=BD=AD，
∴∠C=∠CAD，∠DAB=∠B，
又∠C+∠CAB+∠B=180°，即∠C+∠CAD+∠DAB+∠B=180°，
∴2（∠CAD+∠DAB）=180°，
∴∠CAD+∠DAB=90°，即∠CAB=90°，
則△ABC為直角三角形，
本選項正確；
④等弧所對圓周角相等，此命題為真命題，本選項正確，
綜上，真命題為③④，
故選B．

點評：此題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定與性質，利用了數形結合及轉化的思想，解答此類題時，常常要明白要說明一個命題為真命題必須經過嚴格的證明，要說明一個命題為假命題，只需舉一個反例即可．