Question

觀察下列各式及其變形過程：
2 

2 3

=

23 3

=

2( 22-1)+2  22-1

=

2+  2 3

（1）按上述等式及其驗證過程的基本思路，猜想3

3 8

的變形結果并進行證明；
（2）針對上述各式反映的規律，寫出用n（n為自然數，n≥2）表示的算式，并證明；
（3）依上面規律，寫出用n表示下列各式的規律：2

2 5

=

2- 2 5

，3

3 10

=

3- 3 10

，…（不要求證明）．

Answer 1

分析：（1）由題中的變形過程規律可以容易得出3

3 8

的變形過程；
（2）由此規律可以推廣到當n≥2時的變形過程；
（3）從2

2 5

=

2- 2 5

，3

3 10

=

3- 3 10

和題干的變形形式可以得出它的變形規律．

解答：解：（1）從題目的變形可以得出3

3 8

=

33 8

=

3( 32-1)+3  32-1

=

3+  3 8

．
證明：

3+  3 8

=

3×8+3 8

=

27 8

=

32×3  8

=3

3 8

．所以變形正確．

（2）從上面兩個變形可以看出3=2²-1，8=3²-1，
所以當為n時，分母為n²-1；
故當n≥2時，可以表示為n 

n n2-1

=

n+  n n2-1

；
證明：n 

n n2-1

=

n3 n2-1

=

n( n2-1)+n  n2-1

=

n+  n n2-1

．

（3）有5=2²+1，10=3²+1；故當為n時有
n

n n2+1

=

n-  n n2+1

點評：本題考查同學們對于題目中所給出的已知條件得出其中的規律的問題，需要學生有一定的數學思想．