Question

如圖，拋物線y＝x²－x－12與x軸交于A、C兩點，與y軸交于B點．

（1）求△AOB的外接圓的面積；

（2）若動點P從點A出發，以每秒2個單位沿射線AC方向運動；同時，點Q從點B出發，以每秒1個單位沿射線BA方向運動，當點P到達點C處時，兩點同時停止運動。問當t為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似？

（3）若M為線段AB上一個動點，過點M作MN平行于y軸交拋物線于點N．

①是否存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

②當點M運動到何處時，四邊形CBNA的面積最大？求出此時點M的坐標及四邊形CBAN面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）π；（2）t＝；（3）①不存在；②M（，－6），

【解析】

試題分析：（1）由題意得△AOB為直角三角形，分別求得拋物線y＝x²－x－12與x軸、y軸的交點A、B的坐標，再根據勾股定理求得AB的長，最后根據直角三角形的性質即可求得結果；

（2）由AP＝2t，AQ＝15－t，易求得AC=12，再分△APQ∽△AOB與△AQP∽△AOB兩種情況根據相似三角形的性質即可求得結果；

（3）①先求得直線AB的函數關系式為y＝x－12，設點M的橫坐標為x，則M（x，x－12），N（x，x²－x－12），根據平行四邊形的性質可得MN＝OB＝12，即可得到(x－12)－(x²－x－12)＝12 ，而此方程的△＜0，無實數根，故不存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形；

②由S_{四邊形CBNA}= S_△ACB+ S_△ABN="72+" S_△ABN可得S_△ABN＝S_△OBN＋S_△OAN－S_△AOB＝6x＋(－2x²＋12x＋54)－54＝－2x²＋18x＝－2(x－)²＋，根據二次函數的性質即可求得結果.

（1）由題意得：A（9，0），B（0，－12）  

∴OA＝9，OB＝12，

∴AB＝15 

∴S＝π·()²＝π；

（2）AP＝2t，AQ＝15－t，易求AC=12，∴0≤t≤6

若△APQ∽△AOB，則＝．∴t＝．  

若△AQP∽△AOB，則＝．∴t＝＞6（舍去）． 

∴當t＝時，以A、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似．

（3）直線AB的函數關系式為y＝x－12．   

設點M的橫坐標為x，則M（x，x－12），N（x，x²－x－12）．

若四邊形OMNB為平行四邊形，則MN＝OB＝12

∴(x－12)－(x²－x－12)＝12

即x²－9x＋27＝0

∵△＜0，

∴此方程無實數根，

∴不存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形；

②∵S_{四邊形CBNA}= S_△ACB+ S_△ABN="72+" S_△ABN

∵S_△AOB＝54，S_△OBN＝6x，S_△OAN＝·9·＝－2x²＋12x＋54

∴S_△ABN＝S_△OBN＋S_△OAN－S_△AOB＝6x＋(－2x²＋12x＋54)－54＝－2x²＋18x＝－2(x－)²＋

∴當x＝時，S_△ABN最大值＝ 

此時M（，－6），S_{四邊形CBNA}最大=．

考點：二次函數的綜合題

點評：本題知識點多，綜合性強，難度較大，一般是中考壓軸題，主要考查學生對二次函數的熟練掌握情況.