Question

【題目】已知：如圖，長方形中，，，點是邊的中點，點從點出發，沿著方向運動再過點沿方向運動，到點停止運動，點以同樣的速度從點出發沿著方向運動，到點停止運動，設點運動的路程為.

（1）當時，線段的長是 ；

（2）當點在線段上運動時，圖中陰影部分的面積會發生改變嗎？請你作出判斷并說明理由.

（3）在點的運動過程中，是否存在某一時刻，使得？若存在，求出點的運動路程，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）陰影面積不變，理由見解析；（3）x=3或6.

【解析】

（1）根據AQ=AD﹣DQ，只要求出DQ即可解決問題．

（2）結論：陰影部分的面積不會發生改變．根據S陰=S△APM+S△AQM計算即可．

（3）分兩種情形分別構建方程求解即可解問題．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=8．

AP=DQ=2，∴AQ=AD﹣DQ=8﹣2=6．

故答案為：6．

（2）結論：陰影部分的面積不會發生改變．理由如下：

連結AM，作MH⊥AD于H．則四邊形ABMH是矩形，MH=AB=4．

∵S陰=S△APM+S△AQMx×4（8﹣x）×4=16，∴陰影面積不變．

（3）分兩種情況討論：

①當點P在線段AB上時，BP=4﹣x，DQ=x．

∵BPDQ，∴4﹣xx，∴x=3．

②當點P在線段BM上時，BP=x﹣4，DQ=x．

∵BPDQ，∴x﹣4x，∴x=6．

綜上所述：當x=3或6時，BPDQ．