Question

如圖，已知AC、AB、BC是⊙O的弦，CE是⊙O的直徑，CD⊥AB于點D．
（1）求證：∠ACD=∠BCE；
（2）延長CD交⊙O于點F，連接AE、BF，AC=12、CE=13，求BF長．

Answer 1

（1）證明：∵CE是⊙O的直徑，
∴∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠BAE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BAC+∠ACD=90°，
∴∠BAE=∠ACD，
∵∠BAE=∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE；

（2）解：∵∠ACD=∠BCE，
即∠ACE+∠ECD=∠ECD+∠BCD，
∴∠ACE=∠BCD，
∵∠CAE=∠CDB=90°，
∴△ACE∽△DCB，
∴AC：DC=AE：DB，
∵在Rt△ACE中，AC=12，CE=13，
∴AE==5，
∴CD：BD=AC：AE=12：5，
∵∠CAB=∠F，∠ACD=∠ABF，
∴△ACD∽△FBD，
∴AC：BF=CD：BD=12：5，
∴BF=×12=5．
分析：（1）由CE是⊙O的直徑，可得∠CAE=90°，又由CD⊥AB，根據同角的余角相等，可得∠BAE=∠ACD，然后由圓周角定理，可得∠BAE=∠BCE，繼而證得：∠ACD=∠BCE；
（2）首先證得△ACE∽△DCB，即可得CD：BD=12：5，然后由△ACD∽△FBD，即可求得BF長．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．