Question

【題目】如圖，過拋物線y＝ax2+bx上一點A（4，﹣2）作x軸的平行線，交拋物線于另一點B，點C在直線AB上，拋物線交x軸正半軸于點D（2，0），點B與點E關于直線CD對稱．

（1）求拋物線的表達式；

（2）①若點E落在拋物線的對稱軸上，且在x軸下方時，求點C的坐標．②AE最小值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x；（2）①C的坐標為（，﹣2），②AE的最小值為2﹣2，見解析.

【解析】

（1）將點A（4，-2）、D（2，0）代入求出a、b的值即可得；
（2）①連接BD、DE，作EP⊥AB，并延長交OD于Q，先求出B（-2，-2）、BD=2，設C（m，-2），知BC=CE=m+2，DE=BD=2，由QD=1，PQ=2知PE=QE-PQ=，由PC=1-m及PC2+PE2=CE2可得m的值，從而得出答案；

②由DB=DE=2，知點E在以D為圓心、2長為半徑的⊙D上，連接DA，并延長交⊙D于點E′，此時AE′取得最小值，根據AE的最小值為DE-DA可得答案．

解：（1）將點A（4，﹣2）、D（2，0）代入，

得：，

解得：，

∴拋物線的表達式為y＝﹣x2+x；

（2）①如圖1，連接BD、DE，作EP⊥AB，并延長交OD于Q，

∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，

∴點A（4，﹣2）關于對稱軸對稱的點B坐標為（﹣2，﹣2），

∴BD＝＝2，

設C（m，﹣2），

則BC＝CE＝m+2，DE＝BD＝2，

∵QD＝1，PQ＝2，

∴PE＝QE﹣PQ＝﹣1＝﹣1，

∵PC＝1﹣m，

∴由PC2+PE2＝CE2可得（1﹣m）2+（﹣1）2＝（m+2）2，

解得m＝，

∴點C的坐標為（，﹣2）；

②如圖2，

∵DB＝DE＝2，

∴點E在以D為圓心、2長為半徑的⊙D上，

連接DA，并延長交⊙D于點E′，此時AE′取得最小值，

∵DA＝＝2，

則AE的最小值為DE﹣DA＝2﹣2，

故答案為：2﹣2．