Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數（m≠0）的圖象交于二、四象限內的A、B兩點，與x軸交于C點，點B的坐標為（6，n）．線段OA=5，E為x軸上一點，且sin∠AOE=．
（1）求該反比例函數和一次函數的解析式；
（2）求△AOC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點A作AD⊥x軸于D點，由sin∠AOE=，OA=5，根據正弦的定義可求出AD，再根據勾股定理得到DO，即得到A點坐標（-3，4），把A（-3，4）代入y=，確定反比例函數的解析式為y=-；將B（6，n）代入，確定點B點坐標，然后把A點和B點坐標代入y=kx+b（k≠0），求出k和b．
（2）先令y=0，求出C點坐標，得到OC的長，然后根據三角形的面積公式計算△AOC的面積即可．
解答：解：（1）過點A作AD⊥x軸于D點，如圖，
∵sin∠AOE=，OA=5，
∴sin∠AOE===，
∴AD=4，
∴DO==3，
而點A在第二象限，
∴點A的坐標為（-3，4），
將A（-3，4）代入y=，得m=-12，
∴反比例函數的解析式為y=-；
將B（6，n）代入y=-，得n=-2；
將A（-3，4）和B（6，-2）分別代入y=kx+b（k≠0），得
，
解得，
∴所求的一次函數的解析式為y=-x+2；

（2）在y=-x+2中，令y=0，
即-x+2=0，
解得x=3，
∴C點坐標為（3，0），即OC=3，
∴S_△AOC=•AD•OC=•4•3=6．
點評：本題考查了點的坐標的求法和點在圖象上，點的橫縱坐標滿足圖象的解析式；也考查了正弦的定義、勾股定理以及三角形面積公式．