Question

【題目】（問題）（1）如圖1，銳角△ABC中分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，連接BD、CE，試猜想BD與CE的大小關系，并說明理由．

（遷移）（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB＝7cm，BC＝3cm，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的長．

甲同學受到第一問的啟發構造了如圖所示的一個和△ABD全等的三角形，將BD進行轉化再計算，請你準確的敘述輔助線的作法，再計算。

（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，求CD的長度．

Answer 1

【答案】（1）BD＝CE，理由見解析;（2）；（3）8

【解析】

（1）首先根據等式的性質證明∠EAC=∠BAD，則根據SAS即可證明△EAC≌△BAD，根據全等三角形的性質即可證明；

（2）在△ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA、EB、EC，證明△EAC≌△BAD，證明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；

（3）先證明△ABC是等邊三角形，再把△ACD繞點C逆時針旋轉60°得到△BCE，連接DE，則可得△CDE是等邊三角形，再證△BDE是直角三角形，運用勾股定理求出DE的長，從而可得CD的長.

（1）BD＝CE．

理由是：∵∠BAE＝∠CAD，

∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，

在△EAC和△BAD中，

，

∴△EAC≌△BAD，

∴BD＝CE；

（2）如圖2，在△ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，連接EA、EB、EC．

∵∠ACD＝∠ADC＝45°，

∴AC＝AD，∠CAD＝90°，

∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，

在△EAC和△BAD中，

，

∴△EAC≌△BAD，

∴BD＝CE．

∵AE＝AB＝7，

∴BE＝＝7，∠ABE＝∠AEB＝45°，

又∵∠ABC＝45°，

∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，

∴EC＝＝＝，

∴BD＝CE＝．

（3）如圖，

∵AB＝BC，∠ABC＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

把△ACD繞點C逆時針旋轉60°得到△BCE，連接DE，

則BE＝AD，△CDE是等邊三角形，

∴DE＝CD，∠CED＝60°，

∵∠ADC＝30°，

∴∠BED＝30°+60°＝90°，

在RtBDE中，DE＝＝＝8，

∴CD＝DE＝8．