Question

如圖，在平面直角系中，直線AB：y=

4

a

x+4(a≠0)分別交x軸、y軸于B、A兩點．直線AE分別交x軸、y軸于E、A兩點，D是x軸上的一點，OA=OD．過D作CD⊥x軸交AE于C．連接BC，當動點B在線段OD上運動（不與點O點D重合）且AB⊥BC時．
（1）求證：△ABO∽△BCD；
（2）求線段CD的長（用a的代數式表示）；
（3）若直線AE的方程是y=-

13

16

x+b，求tan∠BAC的值．

Answer 1

分析：（1）根據已知得出∠BAO=∠CBD，以及再利用∠CDO=∠AOD=90°，即可得出三角形相似；
（2）利用相似三角形的性質得出

CD

OB

=

BD

AO

，進而表示出CD的長；
（3）根據C點坐標求出a的值，進而求出tan∠BAC=

BC

AB

=

BD

AO

=

4+a

4

的值即可．

解答：（1）證明：∵CD⊥BE，
∴∠CDO=∠AOD=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∵CB⊥AB，∴∠ABO+∠CBD=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
∴△ABO∽△BCD；

（2）解：∵A（0，4），B（-a，0）（a＜0），
∴AO=4，BO=-a，
∵△ABO∽△BCD，
∴

CD

OB

=

BD

AO

，
∵OD=AO=4，
∴CD=

-a(4+a)

4

（-4＜a＜0），

（3）解：∵C（4，

-a(4+a)

4

），
b=4，
∴

-a(4+a)

4

=-

13

16

×4+4，
即：a²+4a+3=0，
解得：a₁=-1，a₂=-3，
∵△ABO∽△BCD，
∴

BC

AB

=

BD

AO

，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
tan∠BAC=

BC

AB

=

BD

AO

=

4+a

4

，
當a₁=-1時，tan∠BAC=

3

4

，
當a₂=-3時，tan∠BAC=

1

4

．
綜上所述：tan∠BAC=

3

4

或tan∠BAC=

1

4

．

點評：此題主要考查了一次函數的綜合應用以及相似三角形的判定與性質，靈活利用相似三角形的性質是解題關鍵．