Question

已知：在△ABC中，AB=AC，點D為BC邊的中點，點F是AB邊上一點，點E在線段DF的延長線上，點M在線段DF上，且∠BAE=∠BDF，∠ABE=∠DBM．

（1）如圖1，當∠ABC=45°時，線段DM與AE之間的數量關系是______

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接AD，由AB=AC，∠ABC=45°，易得AB=BD，又由∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，可證得△ABE∽△DBM，根據相似三角形的對應邊成比例，即可得AE=DM；
（2）由∠ABC=60°及△DBM∽△ABE，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得MD=AE，繼而可得AE=2MD；
（3）①由△DBM∽△ABE，根據相似三角形的對應邊成比例，即可得DM=cosαAE；
②首先連接AD，EP，設AD交CP于N，根據題意易證得△ABC是等邊三角形，△ABE∽△DBM，繼而可證得△BEP為等邊三角形，然后在Rt△AEB中，利用余弦函數的定義求出cos∠EAB=，得出cos∠PCB=，再解Rt△ABD，求出AD=，解Rt△NDC，得到CN=，ND=，則NA=，然后過N作NH⊥AC，垂足為H．解Rt△ANH，求出NH=AN=，然后利用三角函數的定義，即可求得sin∠ACP的值．
解答：解：（1）如圖1，連接AD．
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵∠ABC=45°，
∴BD=AB•cos∠ABC，即AB=BD．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴=，
∴AE=MD；

（2）由（1）知△DBM∽△ABE，
∴==cos∠ABC=cos60°=，
∴MD=AE，
∴AE=2MD；

（3）①由（1）知△DBM∽△ABE，
∴==cos∠ABC=cosα，
∴DM=cosα•AE；
②如圖2，連接AD，EP，設AD交CP于N．
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形．
又∵D為BC的中點，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=AB．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM，
∴==2，∠AEB=∠DMB，
∴BE=2BM．
又∵BM=MP，
∴EB=BP．
∵∠EBM=∠ABC=60°，
∴△BEP為等邊三角形，
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=90°，
∴∠AEB=90°．
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=2，AB=7，
∴cos∠EAB=，cos∠PCB=cos∠EAB=．
在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=，
在Rt△NDC中，CN==，ND==，
∴NA=AD-ND=．
過N作NH⊥AC，垂足為H．
在Rt△ANH中，NH=AN=，
∴sin∠ACP==．
故答案為AE=MD；AE=2MD；DM=cosα•AE．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理、等邊三角形的判定與性質以及三角函數等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是準確作出輔助線，掌握轉化思想與數形結合思想的應用．