Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=分別與x軸、y軸交于A、B兩點，點C是射線AB上一點，CD⊥x軸于點D，且CD=3．
（1）求證：△AOB∽△ADC；
（2）求線段AD的長度；
（3）在x軸上找一點E，連接CE，使得△ACE與△ACD相似（不包括全等），并求點E的坐標；
（4）在（3）的條件下，若點P、Q分別是線段AC、AE上的動點，連接PQ．設AP=EQ=m，是否存在實數m，使得△APQ與△AEC相似？如存在，請求出實數m的值；如不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵CD⊥x軸于點D，∠BOD=90°，
∴BO∥DC，
∴△AOB∽△ADC；

（2）解：∵直線y=分別與x軸、y軸交于A、B兩點，
∴0=，
∴x=-3，
∴A點坐標為：（-3，0），
∴B點坐標為：（0，），
∵△AOB∽△ADC；
∴=，
∵AO=3，OB=，CD=3，
∴=，
∴AD=4，

（3）解：如圖，過點C作EC⊥AC，交x軸于點E，
在Rt△ADC和Rt△ACE中，
∵∠CAD=∠CAE，
∴Rt△ACD∽Rt△AEC，
∴E點為所求，
又tan∠ACD=tan∠CED=，
∴DE=CD÷tan∠CED=3÷，
∴OE=OD+ED=，
∴E（ ，0）；


（4）解：這樣的m存在．
在Rt△ACE中，由勾股定理得AC=5，
如圖1，當PQ∥CE時，△APQ∽△ACE則 ，
解得 ，
如圖2，當PQ⊥AE時，△APQ∽△AEC，
則 ，
解得 ．
故存在m的值是 或時，使得△APQ與△AEC相似．
分析：（1）根據BO∥DC，利用相似三角形的判定得出即可；
（2）利用△AOB∽△ADC，根據直線與坐標軸的交點坐標，得出AO，OB，的長度，求出AD即可；
（3）首先得出Rt△ACD∽Rt△AEC，再利用tan∠ACD=tan∠CED=，進而求出即可；
（4）在Rt△ADC中，由勾股定理得AC=5，當PQ∥CE時，△APQ∽△ACE，解得 ；當PQ⊥AE時，△APQ∽△AEC，則解得 ．
點評：此題主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．