Question

已知拋物線y=

1

4

ax2+ax+t與x軸的一個交點為A（-1，0）
（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
（2）D是拋物線與y軸的交點，C是拋物線上的一點，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；
（3）E是第二象限內到x軸，y軸的距離的比為5：2的點，如果點E在（2）中的拋物線上，且它與點A在此拋物線對稱軸的同側，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△APE的周長最小？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵y=

1

4

ax2+ax+t的對稱軸為x=-2
∴拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為：（-3，0）
（2）∵D為拋物線與y軸相交
∴D的縱坐標為t
∵CD∥AB
∴C的縱坐標也為t
∵梯形ABCD的高為t
∴S_梯形ABCD=9
∴

(CD+2)•t

2

=9
∴CD=

18-2t

t

∴點C的坐標為（

2t-18

t

，t）
∴

1

4

（

2t-18

t

)2²+

2t-18

t

+t=t
整理得：（2t-18）（6t-18）=0
∴t₁=3，t₂=9
∴a₁=4，a₂=12
∴拋物線的解析式為：y=x²+4x+3或y=3x²+12x+9
（3）當點E在拋物線y=x²+4x+3時
設E點的橫坐標為-2m，則E的縱坐標為5m
把（-2m，5m）代入拋物線得：5m=（-2m）²+4×（-2m）+3
解得；m₁=3，m₂=

1

4

∴E的坐標為（-6，15）（舍去）或（-

1

2

，

5

4

）
∴點E關于x=-2對稱的點E′的坐標為（-

7

2

，

5

4

）
∴直線AE′的解析式為y=-

1

2

x-

1

2

∴P的坐標為（-2，

1

2

）