Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知四邊形ABCD是等腰梯形，A、B在x軸上，D在y軸上，AB∥CD，AD=BC=

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，AB=5，CD=3，拋物線y=-x²+bx+c過A、B兩點．
（1）求b、c；
（2）設M是x軸上方拋物線上的一動點，它到x軸與y軸的距離之和為d，求d的最大值；
（3）當（2）中M點運動到使d取最大值時，此時記點M為N，設線段AC與y軸交于點E，F為線段EC上一動點，求F到N點與到y軸的距離之和的最小值，并求此時F點的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據等腰梯形的兩底的差不難得出A、B兩點的坐標，然后將A、B的坐標代入拋物線的解析式中即可求出b，c的值．
（2）由于M是拋物線上的點，可根據拋物線的解析式設出點M的坐標，那么它到x，y軸的距離就是橫坐標的絕對值與縱坐標的絕對值的和，由此可得出一個新的二次函數，根據這個函數的性質即可求出d的最大值．
（3）本題的關鍵是確定F到N點與到y軸的距離之和的最小時，F點的位置．
過A作y軸的平行線AH，過F作FG⊥y軸交AH于點Q，過F作FK⊥x軸于K，不難得出∠CAB=45°，因此FK=AK=FQ，而OG=IA=1，因此FG=FK-1，那么F到N點與到y軸的距離之和可表示為FK+FN-1，要想使這個值最小，FK+FN就必須最小，因此當這個距離和取最小值時，F，N，K應該在一條直線上，由此F的橫坐標和N點的橫坐標相同．可先求出直線AC的解析式然后將N點的橫坐標代入直線AC的解析式中即可得出F點的坐標．

解答：解：（1）易得A（-1，0）B（4，0），
把x=-1，y=0；
x=4，y=0分別代入y=-x²+bx+c，
得

-1-b+c=0 -16+4b+c=0

，
解得

b=3 c=4

．（3分）

（2）設M點坐標為（a，-a²+3a+4），
d=|a|-a²+3a+4．
①當-1＜a≤0時，d=-a²+2a+4=-（a-1）²+5，
所以，當a=0時，d取最大值，值為4；
②當0＜a＜4時，d=-a²+4a+4=-（a-2）²+8
所以，當a=2時，d取最大值，最大值為8；
綜合①、②得，d的最大值為8．
（不討論a的取值情況得出正確結果的得2分）

（3）N點的坐標為（2，6），
過A作y軸的平行線AH，過F作FG⊥y軸交AH于點Q，過F作FK⊥x軸于K，
∵∠CAB=45°，AC平分∠HAB，
∴FQ=FK
∴FN+FG=FN+FK-1，
所以，當N、F、K在一條直線上時，FN+FG=FN+FK-1最小，最小值為5．
易求直線AC的函數關系式為y=x+1，把x=2代入y=x+1得y=3，
所以F點的坐標為（2，3）．

點評：本題考查的是點的運動，是最靈活的二次函數應用類的，學生接受較差．
（3）中正確的找出F點的位置是解題的關鍵．