Question

如圖，已知矩形ABCD中，AD=a，DC=b，在AB上找一點E，使點E與點C、D的連線將矩形分成的三個三角形相似．設AE=x，請問這樣的點E是否存在？若存在，這樣的點E有幾個？若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：根據相似三角形的性質建立a、b、x的二次方程，由根的判別式分析討論點E的情況．

解答：解：假設這樣的點E存在，由三個三角形相似知：

AD

AE

=

BE

BC

，即

a

x

=

b-x

a

，
∴x²-bx+a²=0，
由于△=b²-4a²，
即（1）當b=2a時，△=0，這樣的點E只有一個；
（2）當b＞2a時，△＞0，這樣的點E只有兩個；
（3）當b＜2a時，△＜0，這樣的點E不存在．

點評：本題主要利用了相似三角形的性質和一元二次方程的根與系數的關系求解．