Question

【題目】如圖，拋物線 與 軸交 、 兩點，直線 與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．

（1）求拋物線及直線AC的函數表達式；
（2）若P點是線段AC上的一個動點，過P點作 軸的平行線交拋物線于F點，求線段PF長度的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：將A（﹣1，0），B（3，0）代入 ，
得b=﹣2，c=3；
∴ ．
將C點的橫坐標x=2代入 ，
得y=-3，
∴C（2，-3）；
∴直線AC的函數解析式是y=﹣x﹣1
（2）解：設P點的橫坐標為x（﹣1≤x≤2），
則P、E的坐標分別為：P（x，﹣x﹣1），E（x， ）；
∵P點在E點的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（ ）= ，
∴當x= 時，PE的最大值為
【解析】（1）利用待定系數法，把A、B坐標代入解析式即可；（2）解決最值問題的基本策略是函數思想，構建以P點的橫坐標x為自變量，PF長為因變量的函數，再利用配方法求出最值.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的最值的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．