Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于點C，AC平分∠DAB，求證：AD⊥CD．

Answer 1

【答案】分析：連接OC，由CD為圓O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC與CD垂直，可得∠OCD為直角，由AC為角平分線，得到一對角相等，又OA=OC，根據(jù)等邊對等角得到一對角相等，等量代換可得一對內(nèi)錯角相等，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行得到OC與AD平行，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，根據(jù)∠OCD為直角，可得∠ADC為直角，即AD與DC垂直，得證．
解答：證明：連接OC，如圖所示：

∵CD為圓O的切線，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
又OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠OCD+∠ADC=180°，又∠OCD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥DC．
點評：此題考查了切線的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，以及角平分線定義，遇到圓的切線此類題時，常常連接圓心與切點，根據(jù)切線的性質(zhì)得垂直，利用直角三角形的性質(zhì)來解決問題．