Question

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AC為弦，CD⊥AB于D．若AE=AC，BE交⊙O于點F，連接CF、DE．
求證：（1）AE²=AD•AB；
（2）∠ACF=∠AED．

Answer 1

分析：（1）根據AE=AC，可以把結論轉化為證明AC²=AD•AB，只需連接BC，證明△ACD∽△ABC即可．根據直徑所對的圓周角是直角，即可分析得到兩個角對應相等；
（2）根據（1）中的結論，即可證明三角形ADE相似于三角形AEB，得到∠AED=∠B，再根據同弧所對的圓周角相等即可證明．

解答：證明：（1）連接BC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵CD⊥AB，
∴△ACD∽△ABC．
∴

AC

AD

=

AB

AC

．
∵AC=AE，
∴AE²=AD•AB．

（2）∵AE²=AD•AB，∠EAD=∠BAE，
∴△ADE∽△AEB．
∴∠AED=∠B．
∵∠ACF=∠B，
∴∠ACF=∠AED．

點評：本題主要考查了對相似三角形的判定和性質的掌握和應用．