Question

在如圖所示的平面直角坐標系中，直線AB：y=k₁x+b₁與直線AD：y=k₂x+b₂相交于點A（1，3），且點B坐標為（0，2），直線AB交x軸負半軸于點C，直線 AD交x軸正半軸于點D．
（1）求直線AB的函數解析式；
（2）根據圖象直接回答，不等式k₁x+b₁＞k₂x+b₂的解集；
（3）若點M為x軸一動點，當點M在什么位置時，使AM+BM的值最小？求出此時點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）由y=k₁x+b₁與直線AD：y=k₂x+b₂相交于點A（1，3），且點B坐標為（0，2），利用待定系數法即可求得直線AB的函數解析式；
（2）觀察圖象可得：當x＞1時，不等式k₁x+b₁＞k₂x+b₂；
（3）首先求得點A關于x軸的對稱點A′的坐標，直線A′B與x軸的交點，即是點M，然后利用待定系數法求得直線A′B的解析式，繼而求得點M的坐標．

解答：解（1）∵直線AB：y=k₁x+b₁過點（1，3），（0，2），
∴

k1+b1=3 b1=2

，
∴解得：k₁=1，b₁=2，…（2分）
∴直線AB解析式為：y=x+2；…（3分）

（2）由圖得：不等式k₁x+b₁＞k₂x+b₂的解集為：x＞1；…（6分）

（3）點A關于x軸的對稱點為A′（1，-3）．
連接A′B，交x軸于點M，此時AM+BM的值最小．
設直線A′B解析式為：y=kx+b，
則

k+b=-3 b=2

，
解得：k=-5，b=2，…（8分）
直線A′B解析式為：y=-5x+2，
當y=0，x=

2

5

，
∴點M（

2

5

，0）．…（10分）

點評：此題考查了待定系數法求一次函數、一次函數的圖象以及距離最短問題．此題難度適中，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．