Question

（2013•天橋區一模）完成下列各題：
（1）如圖，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC與BD交于O，AC=BD． 求證：BC=AD．
（2）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2

3

，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）根據AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC與△BAD是直角三角形，再根據AC=BD，AB=BA，得出Rt△ABC≌Rt△BAD，即可證出BC=AD，
（2）過C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根據含30度角的直角三角形求出CD，根據勾股定理求出AD，相加即可求出答案．

解答：證明：（1）如圖（1），∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△BAD中，

AB=AB AC=BD

，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴BC=AD；

（2）如圖（2），過C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD，
∵∠A=30°，AC=2

3

，
∴CD=

3

，
∴BD=CD=

3

，
由勾股定理得：AD=

AC2-CD2

=3，
∴AB=AD+BD=3+

3

．
答：AB的長是3+

3

．

點評：本題考查了全等三角形的判定及性質，勾股定理，等腰三角形的性質和判定，含30度角的直角三角形性質等知識點的應用，關鍵是構造直角三角形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．