Question

如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，C為BD弧的中點，AC、BD交于點E．
（1）求證：△CBE∽△CAB；
（2）若S_△CBE：S_△CAB=1：4，求sin∠ABD的值．

Answer 1

分析：（1）利用圓周角定理得出∠DBC=∠BAC，根據兩角對應相等得出兩三角形相似直接證明即可；
（2）利用相似三角形的性質面積比等于相似比的平方得出AC：BC=BC：EC=2：1，再利用三角形中位線的性質以及三角函數知識得出．

解答：（1）證明：∵點C為弧BD的中點，∴∠DBC=∠BAC，
在△CBE與△CAB中；
∠DBC=∠BAC，∠BCE=∠ACB，
∴△CBE∽△CAB．

（2）解：連接OC交BD于F點，則OC垂直平分BD
∵S_△CBE：S_△CAB=1：4，△CBE∽△CAB，
∴AC：BC=BC：EC=2：1，
∴AC=4EC，
∴AE：EC=3：1，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD∥OC，則AD：FC=AE：EC=3：1，
設FC=a，則AD=3a，
∵F為BD的中點，O為AB的中點，
∴OF是△ABD的中位線，則OF=

1

2

AD=1.5a，
∴OC=OF+FC=1.5a+a=2.5a，則AB=2OC=5a，
在Rt△ABD中，sin∠ABD=

AD

AB

=

3a

5a

=

3

5

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及三角形中位線的性質等知識，利用未知數表示出OF=

1

2

AD=1.5a，AB=2OC=5a是解決問題的關鍵．