Question

已知二次函數y=-9x²-6ax-a²+2a；
（1）當此拋物線經過原點，且對稱軸在y軸左側．
①求此二次函數關系式；
②設此拋物線與x軸的另一個交點為A，頂點為P，O為坐標原點．現有一直線l：x=m隨著m的變化從點A向點O平行移動（與點O不重合），在運動過程中，直線l與拋物線交于點Q，求△OPQ的面積S關于m的函數關系式；
（2）若二次函數在時有最大值-4，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）①將（0，0）代入二次函數解析式，結合對稱軸在y軸左側可得a的值，繼而得出此二次函數關系式；
②求出拋物線的對稱軸，需要分兩段討論面積S關于m的函數關系式，①當時，②當≤m＜0時，分別畫出圖形，可表示出S關于m的函數關系式．
（2）先確定拋物線的對稱軸，分三種情況討論，①當時，②當時，③當時，分別求出函數的最大值，再由二次函數在時有最大值-4，可作出取舍．
解答：解：（1）①∵y=-9x²-6ax-a²+2a經過原點，
∴0=-a²+2a，
解得：a₁=0，a₂=2，
又∵拋物線的對稱軸為x=-，且對稱軸在y軸左側，
∴a=2，
∴y=-9x²-12x．
②當時，QM=-9m²-12m，OM=-m，OF=，PF=4，
S_△OPQ=S_梯形QMFP+S_△OPF-S_△OQM=3m²+2m； 
當≤m＜0時，QN=-9m²-12m，FN=+m，PF=4，
S_△OPQ'=S_梯形PFNQ'+S_△ONQ'-S_△OPF=-3m²-2m；

（2）對稱軸，
①當時，則-1≤a≤1，y_最大=2a=-4，a=-2，不成立；
②當時，則a≥1，當時，y隨x的增大而減小，
當，y_最大=-a²+4a-1=-4，，而舍去；
③當時，則a≤-1，當時，y隨x的增大而增大，
當，y最大=-a²-1=-4，，而舍去
所以或
點評：本題考查了二次函數的綜合，涉及了拋物線的頂點坐標，三角形的面積，解答本題的關鍵是分類討論思想及數形結合思想的運用，難度較大．