Question

如圖，在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點，P是斜邊AC上的一個動點，D為射線BC上的一點，且PB=PD，過D點作AC邊上的高DE．
（1）求證：PE=BO；
（2）設AC=8，AP=x，S_△PBD為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）是否存在這樣的P點，使得△PBD的面積是△ABC面積的

3

8

？如果存在，求出AP的長；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點得到BO⊥AC，再根據DE⊥AC得到∠POB=∠DEP=90°，從而證明△POB≌△DEP，進而證得結論PE=BO；解題時注意分P在AO上和P在OC上兩種情況討論；
（2）由△POB≌△DEP得BO=PE=4，當點P在AO上時，PO=DE=EC=4-x，此時，S_△PBD=S_PBDE-S_△PDE，當P在OC上時，PO=DE=EC=x-4，此時S_△PBD=S_△PBC+S_△PDC=S_△PBC+S_△PDE-S_△CDE=S_△PBC+S_△POB-S_△CDE
（3）根據S_△ABC=16，S△PBD=

1

2

(8x-x2)知道要使得△PBD的面積是△ABC面積的

3

8

，只要

1

2

(8x-x2)=

3

8

×16，解方程得x₁=2，x₂=6從而得到當AP等于2或6時，△PBD的面積是△ABC面積的

3

8

．

解答：解：（1）P在AO上（如圖1）：
∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點
∴BO⊥AC
∵DE⊥AC
∴∠POB=∠DEP=90°（1分）
∵PB=PD
∴∠PBD=∠PDB，
∵∠OBC=∠C=45°，
∴∠OBP+∠OBC=∠PDB=∠CPD+∠PCD，
∵∠PBD=∠PDB，
∴∠PB0=∠DPE（2分）
∴△POB≌△DEP（AAS）
∴PE=BO（1分）
P在OC上（如圖2）：
∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點
∴BO⊥AC
∵DE⊥AC
∴∠POB=∠DEP=90°
∵PB=PD
∴∠PBD=∠PDB
∵∠C=∠DCE=∠CDE=45°
∴∠PB0=∠DPE（1分）
∴△POB≌△DEP（AAS）
∴PE=BO（1分）

（2）P在AO上（如圖1）：
由△POB≌△DEP得BO=PE=4，
∴PO=DE=EC=4-x，（1分）
∴S_△PBD=S_PBDE-S_△PDE=S_△PBO+S_OBDE-S_△PDE=S_OBDE=S_△OBC-S_△DEC
∴S_△PBD=

1

2

×4×4-

1

2

×(4-x)2=

1

2

(8x-x2)(0＜x≤4)（2分）
P在OC上（如圖2）：
由△POB≌△DEP得BO=PE=4，
∴PO=DE=EC=x-4，（1分）
∴S_△PBD=S_△PBC+S_△PDC=S_△PBC+S_△PDE-S_△CDE=S_△PBC+S_△POB-S_△CDE
=S△OBC-S△DEC=

1

2

×4×4-

1

2

×(x-4)2=

1

2

(8x-x2)(4＜x＜8)（2分）
∴S△PBD=

1

2

(8x-x2)(0＜x＜8)
即y=

1

2

（8x-x²），（0＜x＜8）；
（3）S_△ABC=16，S△PBD=

1

2

(8x-x2)要使得△PBD的面積是△ABC面積的

3

8

，
只要

1

2

(8x-x2)=

3

8

×16，解方程得x₁=2，x₂=6，（2分）
即當AP等于2或6時，△PBD的面積是△ABC面積的

3

8

注：（2）中的S_△PBD的求解可以直接用面積計算，而且不需分類討論，可酌情給分）

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質、一元二次方程的應用及全等三角形的判定及性質，是一道難度較大、綜合性較強的綜合題，解題時一定要仔細審題．