Question

【題目】已知拋物線的對稱軸是直線，與x軸相交于A，B兩點（點B在點A右側），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式和A，B兩點的坐標；

（2）如圖1，若點P是拋物線上B，C兩點之間的一個動點（不與B，C重合），是否存在點P，使四邊形PBOC的面積最大?若存在，求點P的坐標及四邊形PBOC面積的最大值；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，若點M是拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交直線BC于點N，當MN=3時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為；點的坐標為，點的坐標為．（2）存在，點的坐標為，四邊形的面積的最大值為32．（3）點的坐標為，，或．

【解析】

（1）由拋物線的對稱軸為直線x=3，利用二次函數的性質即可求出a值，進而可得出拋物線的解析式，再利用二次函數圖象上點的坐標特征，即可求出點A、B的坐標；

（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，由點B、C的坐標，利用待定系數法即可求出直線BC的解析式，假設存在，設點P的坐標為（x，），過點P作PD//y軸，交直線BC于點D，則點D的坐標為（x,），PD=，利用三角形的面積公式即可得出三角形PBC的面積關于x的函數關系式，再利用二次函數的性質即可解決最值問題；

（3）設點M的坐標為（m，），則點N的坐標為（m，），進而可得出MN=||，結合MN=3即可得出關于m的含絕對值符號的一元二次方程，解之即可得出結論．

（1）∵拋物線的對稱軸是直線，

∴，解得，

∴拋物線的解析式為．

當時，，解得，，

∴點的坐標為，點的坐標為．

答：拋物線的解析式為；點的坐標為，點的坐標為．

（2）當時，，

∴點的坐標為．

設直線的解析式為，

將，代入得解得

∴直線的解析式為．

假設存在點，使四邊形的面積最大，

設點的坐標為，

如下圖所示，過點作軸，交直線于點，

則點的坐標為，

則，

∴

，

∴當時，四邊形的面積最大，最大值是32．

∵，

∴存在點，使得四邊形的面積最大．

答：存在點，使得四邊形的面積最大；

點的坐標為，四邊形的面積的最大值為32．-

（3）設點的坐標為，則點N的坐標為，

∴，

又∵，

∴，

當時，，解得，，

∴點的坐標為或；

當或時，，解得，，

∴點的坐標為或．

答：點的坐標為，，或．