Question

在平面直角坐標系中，已知函數和函數，不論取何值，都取與二者之中的較小值.

1.求關于的函數關系式

2.現有二次函數，若函數和都隨著的增大而減小，求自變

量的取值范圍

3.在（2）的結論下，若函數和的圖象有且只有一個公共點，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 

1.       ……………………………………….……..2分

（說明：兩個自變量取值范圍都含有等號或其中一個含等號均不扣分，都沒等號扣1分）

2.對函數，當隨的增大而減小，

，         ………………………………………..…….3分

又函數的對稱軸為直線，            …………………………….……..4分

且，

當時，隨的增大而減小，            ………………………….……..5分

                  …………………………………….…………….…..6分

3.①若函數與只有一個交點，且交點在范圍內.

     則，

       ，

        ，

      得           …………………………….…………….…7分

      此時，符合，  ………….…………..….…8分

    

②若函數與有兩個交點，其中一個在范圍內，另一個交點在范圍外.則， 即，   ………….…9分

方法一：對，當時；當時.

又當時，隨的增大而減小，      ……….………10分

  若與在內有一個交點，

則當時；當時，

即當時；當時.

也即   解得，        ……….……..…11分

由，得             …………………………..…12分

綜上所述，的取值范圍是：或.

方法二：由函數與的一個交點在范圍內，另一個交點在范圍外，可得：  或

解第一個不等式組，可得 即無解；         …….………10分

解第二個不等式組，可得 即，      ….………11分

由，得.          ……………………………..…12分

【解析】（1）有題意可知y₁和y₂交于(2,4),當x小于2時，y₁和y₂中y₁較小，當x大于2時，y₁和y₂中y₂較小，當x=2時，y₁=y₂，因此，y₀是關于x的分段函數，當x<2時，y₀=-x+6，當x>2時，y₀=2x

（2）因為對函數，當隨的增大而減小，所以y₀=-x+6, 函數的對稱軸為直線,且，所以自變量的取值范圍

（3）分兩種情況討論：①若函數與只有一個交點，且交點在范圍內.；②若函數與有兩個交點，其中一個在范圍內，另一個交點在范圍外