Question

【題目】將一副三角板與（其中，，，）如圖擺放，中所對直角邊與斜邊恰好重合．以為直徑的圓經過點，且與交于點，分別連接，．

（1）求證：平分；

（2）求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根據圓周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代換得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；

（2）設AB與CE交于點M．根據角平分線的性質得出．易求∠BAD=30°，由直徑所對的圓周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=BE，那么．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．證明△AFM∽△BGM，根據相似三角形對應邊成比例得出，進而求出．

試題解析：（1）證明：∵Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，

∴∠BAC=∠ABC=45°，

∵∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，∴∠AEC=∠BEC，

即EC平分∠AEB；

（2）如圖，設AB與CE交于點M．

∵EC平分∠AEB，∴．

在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，

∴∠BAD=30°，

∵以AB為直徑的圓經過點E，∴∠AEB=90°，

∴tan∠BAE=，∴AE=BE，∴=．

作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．

在△AFM與△BGM中，

∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，∴△AFM∽△BGM，

∴，∴．