Question

如圖，ON為∠AOB中的一條射線，點P在邊OA上，PH⊥OB于H，交ON于點Q，PM∥OB交ON于點M，MD⊥OB于點D，QR∥OB交MD于點R，連接PR交QM于點S．
（1）求證：四邊形PQRM為矩形；
（2）若OP=

1

2

PR，試探究∠AOB與∠BON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵PH⊥OB，MD⊥OB，
∴PH∥MD，
∵PM∥OB，QR∥OB，
∴PM∥QR，
∴四邊形PQRM是平行四邊形，
∵PH⊥OB，
∴∠PHO=90°，
∵PM∥OB，
∴∠MPQ=∠PHO=90°，
∴四邊形PQRM為矩形；

（2）∠AOB=3∠BON．理由如下：
∵四邊形PQRM為矩形，
∴PS=SR=SQ=

1

2

PR，
∴∠SQR=∠SRQ，
又∵OP=

1

2

PR，
∴OP=PS，
∴∠POS=∠PSO，
∵QR∥OB，
∴∠SQR=∠BON，
在△SQR中，∠PSO=∠SQR+∠SRQ=2∠SQR=2∠BON，
∴∠POS=2∠BON，
∴∠AOB=∠POS+∠BON=2∠BON+∠BON=3∠BON，
即∠AOB=3∠BON．