Question

【題目】定義：若點P為四邊形ABCD內一點，且滿足∠APB+∠CPD=180°， 則稱點P為四邊形ABCD的一個“互補點”．

（1）如圖1，點P為四邊形ABCD的一個“互補點”，∠APD=63°，求∠BPC的度數．

（2）如圖2，點P是菱形ABCD對角線上的任意一點．求證：點P為菱形ABCD的一個“互補點”．

Answer 1

【答案】（1）117°；（2）證明見解析.

【解析】（1）根據點P為四邊形ABCD的一個“互補點”的定義，可得出∠APD+∠BPC=180°，從而可求出結果；

（2）根據菱形的性質可證得AB=BC，∠ABP=∠CBP，再證明△ABP≌△CBP，可證得∠1=∠3，同理得出∠2=∠4，然后證明∠1+∠2=180°，即可求證.

（1）∵點P為四邊形ABCD的一個“互補點”，∠APD=63°

∴∠APD+∠BPC=180°

∴∠BPC=180°-63°=117°

（2）證明：如圖，連接AP、PC

∵菱形ABCD

∴AB=BC，∠ABP=∠CBP

∵BP=BP

∴△ABP≌△CBP（SAS）

∴∠1=∠3

同理∠2=∠4

∵∠1+∠3+∠2+∠4=360°

∴2∠1+2∠2=360°

∴∠1+∠2=180°

∴點P為菱形ABCD的一個“互補點” .