Question

【題目】如圖、圖、圖，在矩形中，是邊上的一點，以為邊作平行四邊形，使點在的對邊上，

如圖，試說明：平行四邊形的面積與矩形的面積相等；

如圖，若平行四邊形是矩形，與交于點，試說明：、、、四點在同一個圓上；

如圖，若，平行四邊形是正方形，且是的中點，交于點，連接，判斷以為直徑的圓與直線的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）以為直徑的圓與直線相切，理由見解析.

【解析】

（1）作出AE邊上的高，分別得出長方形和平行四邊形的面積表達式，可得其結果相同，從而說明平行四邊形AEFG的面積與矩形ABCD的面積相等．

（2）先求出∠ADC=∠FEA=90°，再根據圓內接四邊形的判定定理：“如果一個四邊形的一組對角互補，那么這個四邊形內接于圓”解答．

（3）過D作DH⊥AP于H，根據∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90°，可得∠3=∠1，可求出△ADG∽△AEB；再根據D是FG的中點可求出其相似比為2，再由△ADG與△AEB相似可得其對應邊成比例，可求出△ADG∽△AEB∽△APD；最后根據相似三角形的性質可得AD是∠GAH的平分線，可求出DG=DH，故DG=DF，即可解答．

過點作垂直于點；

，

，

，

所以，

所以，．

因為平行四邊形是矩形，四邊形也是矩形；

所以，

則，

所以、、、四點在同一個圓上．

相切．

過作于；

∵，，

∴，，

∴，

∵是的中點，

∴，

在與中，；

∵，

∴，

∵，

∴，∴，即是的平分線，

∴，∵，，

∴以為直徑的圓與直線相切．