Question

（1）觀察下列各圖，第①個圖中有1個三角形，第②個圖中有3個三角形，第③個圖中有6個三角形，第④個圖中有______個三角形，…，根據這個規律可知第n個圖中有______個三角形（用含正整數n的式子表示）；

（2）（1）中是否存在一個圖形，該圖形中共有29個三角形？若存在請畫出圖形；若不存在請通過具體計算說明；
（3）圖③中，點B線段AC的中點，D為AC延長線上一個動點，記△PDA的面積為S₁；△PCB的面積為S₂；△PDC的面積為S₃．下列兩個結論（1）是定值；（2）是定值．有且只有一個結論是正確的，請作出選擇并求值．

Answer 1

解：（1）由題意得出規律，第n個圖時，應該有三角形的個數為個；

（2）當=29，
化簡得：n²+n-58=0，
由于這個方程中沒有正整數解，因此不管是第幾個圖形，都不可能有29個三角形；

（3）=2，
∵AB=BC，且三角形ABP和三角形BCP的底邊AB，CD上的高相等，
∴S_△ABP=S_△BCP=S_△APC，
因此S_△APC=S_△APD-S_△PCD=S₁-S₃=2S₂，即=2．
分析：（1）我們看到后一個圖形的三角形的個數與上一個圖形中三角形的個數的差是遞增的（1，1+2，3+3，6+4，10+5，…），因此我們可得出到第n個圖時，應該有三角形的個數為個；
（2）將29代入（1）得出的式子中，看看是否有整數解即可；
（3）可根據AB=AC得出三角形ABP，BCP的面積相等，因此三角形BCP的面積就是三角形APC的面積的一半，三角形APC的面積=三角形APD的面積-三角形PCD的面積，因此=2是成立的．
點評：本題考查了三角形和規律性等知識點，讀懂題中給出的條件是解題的關鍵．