Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點P在BC邊上運動，連接DP，過點A作AE⊥DP，垂足為E．
（1）連接AP，求證：S_△APD=

1

2

S_矩形ABCD；
（2）設DP=y，AE=x，求y與x之間函數關系式；
（3）寫出自變量x的取值范圍，并求出y的最大值．

Answer 1

分析：（1）設△APD中AD邊上的高為h，則h=AB=CD，S_△APD=

1

2

•AD•h=

1

2

•AD•AB=

1

2

S_矩形ABCD；
（2）由（1）的結論易求關系式；
（3）當P在B點位置時x最小，為

12

5

；當P在C點時x最大，為4，根據函數性質求y的最大值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=90°，AB=CD（1分）
∵S_△APD=S_矩形ABCD-S_△ABP-S_△DPC=AB•BC-

1

2

BP•AB-

1

2

PC•DC
=AB•BC-

1

2

（BP+PC）AB
=AB•BC-

1

2

BC•AB
=

1

2

AB•BC（3分）
又∵S_矩形ABCD=AB•BC
∴S_△APD=

1

2

S_矩形ABCD（4分）；

（2）∵AE⊥PD
∴S_△APD=

1

2

PD•AE（5分）
由（1）可知S_△APD=

1

2

S_矩形ABCD=

1

2

×3×4=6（6分）
∴

1

2

xy=6
y=

12

x

（7分）；

（3）當B，P重合時x最短為：

12

5

，當P，C重合時，x最長為4，
則自變量x的取值范圍：

12

5

≤x≤4（10分）
∵在第一象限內，y隨x的增大而減小，
∴當x=

12

5

時，y_最大=5（12分）．

點評：此題運用了圖形的分割轉化思想；把幾何和函數性質聯系起來很有創意．