Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D。

（1）求證：BC是⊙O切線(xiàn)；

（2）若BD=5， DC=3，求AC的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析證明；（2）見(jiàn)解析證明．

【解析】

試題分析：（1）要證BC是⊙O的切線(xiàn)，只要連接OD，再證OD⊥BC即可；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的長(zhǎng)，再通過(guò)證明△BDE∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出AC的長(zhǎng)．

試題解析：（1）證明: 如圖1，連接OD.∵ OA=OD, AD平分∠BAC，∴ ∠ODA=∠OAD, ∠OAD=∠CAD，∴ ∠ODA=∠CAD，∴ OD//AC，∴ ∠ODB=∠C=90，∴ BC是⊙O的切線(xiàn)；

（2） 如圖2，過(guò)D作DE⊥AB于E.∴ ∠AED=∠C=90，又∵ AD=AD, ∠EAD=∠CAD, ∴ △AED≌△ACD.

∴ AE=AC, DE=DC=3，在Rt△BED中，∠BED =90,由勾股定理，得BE=.設(shè)AC=x（x>0）, 則AE=x，在Rt△ABC中，∠C=90, BC=BD+DC=8, AB=x+4, 由勾股定理，得，

解得x=6，即 AC=6.