Question

如圖，AB為⊙O直徑，C為圓上任一點(diǎn)，作弦CD⊥AB，垂足為H．連接OC．
（1）說明∠ACO=∠BCD成立的理由；
（2）作∠OCD的平分線CE交⊙O于E，連接OE（點(diǎn)D、E可以重合），求出點(diǎn)E在弧ADB的具體位置，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，連接AE，判斷圓上是否存在點(diǎn)C，使△ACE為等腰三角形？若存在，請(qǐng)你寫出∠CAE的度數(shù)．（不用寫出推理過程）

Answer 1

【答案】分析：（1）由垂徑定理可知弧BD=弧BC，可得∠BCD=∠A，由半徑相等，得∠A=∠ACO，推出結(jié)論；
（2）E為弧ADB的中點(diǎn)． 由∠ACO=∠BCD及∠OCE=∠DCE，可得∠ACE=∠BCE，得=，可證E為弧ADB的中點(diǎn)；
（3）存在．當(dāng)AC=CE時(shí)，∠AOE=90°，則∠ACE=45°，∠CAE=（180°-∠ACE），當(dāng)AC=AE時(shí)，∠CAE=90°，當(dāng)CE=AE時(shí)，∠CAE=45°．
解答：解：（1）∵CD⊥直徑AB，
∴弧BD=弧BC（垂徑定理），
∴∠BCD=∠A，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠ACO=∠BCD；

（2）E為弧ADB的中點(diǎn)．
理由：∵CE平分∠OCD，
∴∠OCE=∠DCE，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∴∠OEC=∠DCE，
∴OE∥CD，
又∵CD⊥AB∴OE⊥AB，
∴E為弧ADB的中點(diǎn)；

（3）當(dāng)C在優(yōu)弧ACE上，AC=CE時(shí)，∠CAE=67.5°，
當(dāng)AC=AE時(shí)，∠CAE=90°，
當(dāng)CE=AE時(shí)，∠CAE=45°，
當(dāng)C在劣弧AE上，AC=CE時(shí)，∠CAE=22.5°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理．關(guān)鍵是利用垂徑定理得出弧相等，圓周角相等．