Question

如圖所示，圓O是△ABC的外接圓，∠BAC與∠ABC的平分線相交于點I，延長AI交圓O于點D，連接BD、DC．
（1）求證：BD=DC=DI；
（2）若圓O的半徑為10cm，∠BAC=120°，求△BDC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可得∠BAD=∠DAC，進而可得BD=DC．同理可得∠BAD=∠DBC，易證△BDI為等腰三角形．結合BD=ID，容易得到證明．
（2）根據圓內接四邊形的性質與圓周角定理，可得∠DBC=∠DCB=60°，△BDC為正三角形．又OB=10cm，可得△BDC的面積．
解答：（1）證明：∵AI平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴=，
∴BD=DC．                                       
∵BI平分∠ABC，
∴∠ABI=∠CBI．
∵∠BAD=∠DAC，∠DBC=∠DAC，
∴∠BAD=∠DBC．
又∵∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠ABI+∠BAD，
∴∠DBI=∠DIB，
∴△BDI為等腰三角形，
∴BD=ID，
∴BD=DC=DI．                                    

（2）解：當∠BAC=120°時，△ABC為鈍角三角形，
∴圓心O在△ABC外．
連接OB、OD、OC．
∴∠DOC=∠BOD=2∠BAD=120°，
∴∠DBC=∠DCB=60°，
∴△BDC為正三角形．                             
∴OB是∠DBC的平分線，
延長CO交BD于點E，則OE⊥BD，
∴BE=BD，
又∵OB=10，
∴BD=2OBcos30°=2×10×=10．
∴CE=BD•sin60°=10×=15，
∴S_△BDC=BD•CE=×10×15=75．
答：△BDC的面積為75cm²．
點評：此題綜合性較強，綜合考查了等腰梯形的性質、直角三角形的性質、全等三角形的判定、角平分線的性質等知識點．