Question

已知，四邊形ABCD內接于⊙O，AC為⊙O的直徑，弦DB⊥AC，垂足為M，過點D作⊙O的切線，交BA的延長線于點E，若AC=10，tan∠DAE=，求DB和DE的長．

Answer 1

【答案】分析：連接OD，先根據圓內接四邊形的性質得到∠DAE=∠DCB，再根據圓中的基本性質求出tan∠DOA=tan∠DAE=，利用Rt△AMD中的勾股定理，得AD=2．易證EDA∽△EBD，利用相似比=求出EA=DE．用DE²=EA²+EA•AD作為相等關系解關于DE的方程，可得DE=．
解答：解：連接OD，BC，
∵四邊形ABCD內接于⊙O，
∴∠DAE=∠DCB，
∵AC為⊙O的直徑，弦DB⊥AC，
∴DB=2DM，弧AD=弧AB，
∴∠1=∠2，AD=AB；
又∠3=2∠1，
∴∠3=∠BCD=∠DAE．
∴tan∠3=tan∠DAE=，
∵AC=10，
∴OD=5；
在Rt△ODM中，設DM=4x，得OM=3x，
由勾股定理，得DM²+OM²=OD²．
∴（4x）²+（3x）²=5²．取正數解，得x=1，
∴OM=3x=3，DM=4x=4，
∴DB=2DM=8．
∵OM=3，
∴AM=OA-OM=2．
在Rt△AMD中，由勾股定理，得AD==2．
∵ED是⊙O的切線，
∴∠EDA=∠EBD；
又∠BED為公用角，
∴△EDA∽△EBD，
∴==，
∴EA=DE．
∵DE²=EA•EB=EA（EA+AB）=EA（EA+AD）=EA²+EA•AD．
∴DE²=（ED）²+DE•2．
解關于DE的方程，得DE=．
點評：主要考查了切線的性質和圓內接四邊形的性質．要掌握這些基本性質并能準確的作出輔助線找到所求的未知量與已知條件之間的間接聯系，能靈活地運用直角三角形的性質求解．