Question

已知α，β是關于x的一元二次方程（m-1）x²-x+1=0的兩個實數根，且滿足（α+1）（β+1）=m+1，求實數m的值．

Answer 1

分析：α，β是關于x的一元二次方程（m-1）x²-x+1=0的兩個實數根，有α+β=

1

m-1

，αβ=

1

m-1

，
且（α+1）（β+1）=（α+β）+αβ+1代入可得（α+1）（β+1）=m+1．即可得到關于m的方程，從而求解．

解答：解：∵一元二次方程（m-1）x²-x+1=0有兩個實數根α，β．
∴

m-1≠0 △=(-1)2-4(m-1)≥0

，
解之得m≤

5

4

且m≠1，
而α+β=

1

m-1

，αβ=

1

m-1

，
又（α+1）（β+1）=（α+β）+αβ+1=m+1，
∴

1

m-1

+

1

m-1

=m，
解之得m₁=-1，m₂=2，經檢驗m₁=-1，m₂=2都是原方程的根．
∵m≤

5

4

，
∴m₂=2不合題意，舍去，
∴m的值為-1．
注：如果沒有求出m的取值范圍，但在求出m值后代入原方程檢驗，舍去m=2也正確．

點評：本題考查一元二次方程ax²+bx+c=0的根與系數關系即韋達定理，兩根之和是-

b

a

，兩根之積是

c

a

．利用根與系數的關系把求m的問題轉化為方程的問題，是解決本題的關鍵．