Question

如圖，已知：AO為⊙O₁的直徑，⊙O₁與⊙O的一個交點為E，直線AO交⊙O于B、C兩點，過⊙O的切線GF，交直線AO于點D，與AE的延長線垂直相交于點F，OG∥AF．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）若AB=2，AE=6，求△ODG的周長．

Answer 1

分析：（1）連接OE，由于AO是⊙O₁的直徑，則直徑對的圓周角是直角，所以∠AEO=90°，而OE是圓O的半徑，所以AE是圓O的切線；
（2）由切割線定理可求得AC，BC的長，從而得到四邊形FGOE是正方形，根據平行線的性質可求得DG的長；再根據勾股定理得到CD的長，這樣△ODG的周長就不難求得了．

解答：（1）證明：連接OE，
∵AO是⊙O₁的直徑，
∴∠AEO=90°．
∵OE是⊙O的半徑，
∴AE是⊙O的切線．

（2）解：∵AE是⊙O的切線，ACO是⊙O的割線，
∴AE²=AB•AC．
∴AC=18，BC=AC-AB=16，OG=OB=8．
∵OE⊥AF，OG⊥DF，DF⊥AF，EF=FG，OE=OG，
∴四邊形FGOE是正方形，
∴EF=OG=8，AF=14．
∵OG∥AF，
∴OG：AF=DG：（DG+FG）．
解得DG=

32

3

．
在Rt△OGD中，OG²+DG²=OD²，即8²+（

32

3

）²=（8+CD）²
解得，CD=

16

3

．
∴△ODG的周長=DG+CD+OC+OG=32．

點評：本題利用了切線的性質，切割線定理，勾股定理，正方形的性質的綜合運用．