Question

在⊙O中，AB是直徑，CD是弦（非直徑），AB⊥CD，現有直線k經過點D旋轉交⊙O于P，當直線k經過點A時（如圖1）易證：∠DPB+∠C=90°．
（1）當點P在上時（如圖2），“∠DPB+∠C=90°”還成立嗎？試證明你的結論；
（2）在直線k繞點D旋轉的過程中（不考慮P與B或D重合的情形），∠DPB與∠C有幾種不同的數量關系？寫出與“∠DPB+∠C=90°”不同的關系式（仍用等式表示），并說明點P相應的位置和理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圓周角定理可得∠DPB=∠A；然后根據垂徑定理、直角三角形的兩個銳角互余的性質證得該結論成立；
（2）有兩種不同的數量關系：“∠DPB+∠C=90°”和“∠DPB-∠C=90°”．連接AP，BP．由圓周角定理（直徑所對的圓周角是直角）推知∠BPA=90°，由等弧所對的圓周角相等證得∠C=∠APD；然后根據圖形中的相關角間的數量關系知∠BPD=∠BPA+∠APD，即∠BPD-∠C=90°．
解答：（1）如圖1所示：點在上時，∠DPB+∠C=90°，仍成立．
證明：∵AB⊥CD，∴CE=DE，
∴=，
∵∠DPB=∠A（等弧所對的圓周角相等）；
又∵∠A+∠C=90°，
∴∠DPB+∠C=90°（等量代換）；

（2）有兩種不同的數量關系：“∠DPB+∠C=90°（如圖1所示）”和“∠DPB-∠C=90°（如圖2所示）”．
當點P在上時，∠DPB-∠C=90°；
證明：連接AP，BP．∠BPD=∠BPA+∠APD，
∵AB是直徑，
∴∠BPA=90°；
∵∠C=∠APD，
∴∠BPD=90°+∠C，即：∠BPD-∠C=90°．
點評：本題考查了圓的綜合題：在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角為直角；垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧．