Question

【題目】如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，點P是邊AD上一點，聯結PB，將線段PB繞著點P逆時針旋轉90°得到線段PQ，如果點Q恰好落在平行四邊形ABCD的邊上，那么AP的值是_____．

Answer 1

【答案】6或10

【解析】

分情況解答：當點Q落在CD上時，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延長線于F．設PE＝x，通過證明△PBE≌△QPF，得出PE＝QF＝x，DF＝x﹣1，由tan∠FDQ＝tanA＝＝，即可得出AP的值；當點Q落在AD上時，得出∠APB＝∠BPQ＝90°，由tanA＝，即可得出AP的值；當點Q落在直線BC上時，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．則四邊形BEPF是矩形．由tanA＝＝，可得出△BPQ是等腰直角三角形，此時求出BQ不滿足題意，舍去.

解：如圖1中，當點Q落在CD上時，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延長線于F．

設PE＝x．

在Rt△AEB中，∵tanA＝＝，AB＝10，

∴BE＝8，AE＝6，

∵將線段PB繞著點P逆時針旋轉90°得到線段PQ，

∴∠BPQ＝90°，

∴∠EBP+∠BPE＝∠BPE+∠FPQ＝90°，

∴∠EBP＝∠FPQ，

∵PB＝PQ，∠PEB＝∠PFQ＝90°，

∴△PBE≌△QPF（AAS），

∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8，

∴DF＝AE+PE+PF﹣AD＝x﹣1，

∵CD∥AB，

∴∠FDQ＝∠A，

∴tan∠FDQ＝tanA＝＝，

∴＝，

∴x＝4，

∴PE＝4，

∴AP＝6+4＝10；

如圖2，當點Q落在AD上時，

∵將線段PB繞著點P逆時針旋轉90°得到線段PQ，

∴∠BPQ＝90°，

∴∠APB＝∠BPQ＝90°，

在Rt△APB中，∵tanA＝＝，AB＝10，

∴AP＝6；

如圖3中，當點Q落在直線BC上時，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．則四邊形BEPF是矩形．

在Rt△AEB中，∵tanA＝＝，AB＝10，

∴BE＝8，AE＝6，

∴PF＝BE＝8，

∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，

∴PF＝BF＝FQ＝8，

∴PB＝PQ＝8，BQ＝PB＝16＞15（不合題意舍去），

綜上所述，AP的值是6或10，

故答案為：6或10．