Question

（1）已知：如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F為DC上一點，且∠1=∠2，求證：AF=BC+FC；
（2）已知：如圖2，把三角尺的直角頂點落在矩形ABCD的對角線交點P處，若旋轉三角尺時，它的兩條直角邊與矩形的兩邊BC、CD分別相交于M、N，試證：MN²=BM²+DN²．

Answer 1

【答案】分析：（1）在AF上截取AG=AB，連接EG、CG，利用SAS易證△ABE≌△AGE，那么就有BE=GE，∠AGE=90°，而E是BC中點，有BE=CE，于是EG=EC，根據等邊對等角有∠EGC=∠ECG，而∠EGF=∠ECF=90°，等量減等量差相等，于是有∠FGC=∠FCG，那么CF=GF，于是可證AF=AG+GF=BC+CF；
（2）延長MP交AD于Q，連接QN，可證PQ=PM，BM=DQ，再證MN=NQ，在△NDQ中用勾股定理可得．
解答：
證明：（1）在AF上截取AG=AB，連接EG、CG，
∵AG=AB，∠1=∠2，AE=AE，
∴△ABE≌△AGE，
∴BE=GE，∠AGE=90°，
又∵E是BC中點，
∴BE=CE，
∴CE=GE，
∴∠EGC=∠ECG，
又∵∠EGF=∠ECF=90°，
∴∠EGF-∠EGC=∠ECF-∠ECG，
∴∠FGC=∠FCG，
∴GF=CF，
∴AF=AG+GF=AB+CF=BC+CF；

（2）延長MP交AD于Q，連接QN，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，DP=BP，
∴∠PBM=∠PDQ，
又∵∠QPD=∠MPB，
∴△DPQ≌△BPM，
∴BM=DQ，PQ=PM，
又∵∠MPN=90°，
∴PN是MQ的垂直平分線，
∴MN=NQ，
在Rt△QDN中，有QN²=DN²+DQ²，
即MN²=DN²+BM²．
點評：本題利用了全等三角形的判定和性質、等量代換、矩形的性質、垂直平分線性質、勾股定理等知識．