Question

已知：如圖（1），△OAB是邊長為2的等邊三角形，0A在x軸上，點B在第一象限內；△OCA是一個等腰三角形，OC＝AC，頂點C在第四象限，∠C＝120°．現有兩動點P、Q分別從A、O兩點同時出發，點Q以每秒1個單位的速度沿OC向點C運動，點P以每秒3個單位的速度沿A→O→B運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨即停止.

1.求在運動過程中形成的△OPQ的面積S與運動的時間t之間的函數關系，并寫出自變量t的取值范圍；

2.在OA上（點O、A除外）存在點D，使得△OCD為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點D的坐標；

3.如圖（2），現有∠MCN＝60°，其兩邊分別與OB、AB交于點M、N，連接MN．將∠MCN繞著C點旋轉（0°＜旋轉角＜60°），使得M、N始終在邊OB和邊AB上．試判斷在這一過程中，△BMN的周長是否發生變化？若沒有變化，請求出其周長；若發生變化，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

1.過點作于點．（如圖①）

∵，，∴．

      ∵，， ∴．

   在Rt中， 

當時，,,；

過點作于點．（如圖①）

     在Rt中，∵，∴，

∴．

     即 ．………………………………………2分

2.當時，（如圖②）

，．

∵，，∴．

∴．

即．

故當時，，當時，……………4分

或         …………………6分

3.的周長不發生變化．

延長至點，使，連結．（如圖③）

∵，∴≌．

∴，  …………………7分

       ∴．

        ∴． 又∵．

   ∴≌．∴   ……………………………………9分

∴．

∴的周長不變，其周長為4   ……………………………………10分

【解析】（1）由于點Q從點O運動到點C需要 秒，點P從點A→O→B需要 秒，所以分兩種情況討論：①0＜t＜ ；② ≤t＜．針對每一種情況，根據P點所在的位置，由三角形的面積公式得出△OPQ的面積S與運動的時間t之間的函數關系，并且得出自變量t的取值范圍

（2）如果△OCD為等腰三角形，那么分D在OA邊或者OB邊上兩種情形．每一種情形，都有可能O為頂點，C為頂點，D為頂點，分別討論，得出結果；

（3）如果延長BA至點F，使AF=OM，連接CF，則由SAS可證△MOC≌△FAC，得出MC=CF，再由SAS證出△MCN≌△FCN，得出MN=NF，那么△BMN的周長=BA+BO=4．