Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=DC，點E在對角線BD上，作∠ECF=90°，連接DF，且滿足CF=EC．
（1）求證：BD⊥DF．
（2）當BC²=DE•DB時，試判斷四邊形DECF的形狀，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵∠BCD=∠ECF=90°，∴∠BCE=∠DCF，
∵BC=DC，EC=CF，∴△BCE≌△DCF，
∴∠EBC=∠FDC，
∵BC=DC，∠BCD=90°，∴∠DBC=∠BDC=45°，
∴∠FDC=45°，∴∠FDB=90°，
∴BD⊥DF；
（2）解：四邊形DECF是正方形．
∵BC²=DE•DB，BC=DC，∴DC²=DE•DB，∴，
∵∠CDE=∠BDC，∴△CDE∽△BDC，
∴∠DEC=∠DCB=90°，
∵∠FDE=∠ECF=90°，∴四邊形DECF是矩形，
∵CE=CF，∴四邊形DECF是正方形．
分析：（1）利用互余關系證明∠BCE=∠DCF，又有BC=DC，EC=CF，可證△BCE≌△DCF，得出∠EBC=∠FDC，由已知可知△BCD為等腰直角三角形，故有∠BDC=∠EBC=∠FDC=45°，可證∠FDB=90°，證明BD⊥DF；
（2）四邊形DECF是正方形．由BC²=DE•DB及BC=DC，得DC²=DE•DB，轉化為比例式，利用公共角∠CDE=∠BDC，證明△CDE∽△BDC，則有∠DEC=∠DCB=90°，判斷四邊形DECF是矩形，結合條件CE=CF，可證四邊形DECF是正方形．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，正方形的判定．關鍵是利用已知條件證明等腰直角三角形，全等三角形，判斷垂直關系，利用條件證明相似三角形，判斷直角，矩形及正方形．