Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線 與拋物線 交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為－8．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點D，作PE⊥AB于點E．
①設△PDE的周長為 ，點P的橫坐標為 ，求 關于 的函數關系式，并求出 的最大值；
②連接PA，以PA為邊作圖示一側的正方形APFG．隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點F或G恰好落在 軸上時，求出對應點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：對于 ，當y=0，x=2．當x=－8時，y=－ ．

∴A點坐標為（2，0），B點坐標為（－8，－ ）．

由拋物線 經過A、B兩點，得 ，解得 ， ．

∴ ；

（2）解：①設直線 與y軸交于點M，

當x=0時，y= ．∴OM= ．

∵點A的坐標為（2，0），∴OA=2．

∴AM= ．

∴OM∶OA∶AM=3∶4∶5．

由題意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，

∴△AOM∽△PED．

∴DE∶PE∶PD=3∶4∶5．

∵點P是直線AB上方的拋物線上一動點，

∵PD⊥x軸，

∴PD兩點橫坐標相同，

∴PD=yP－yD= = ，

∴ ．

∴x=－3時，l最大=15；

②當點G落在y軸上時，如圖2，

由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，

即 ，解得x= ，

所以P1（ ，2），P2（ ，2），

如圖3，過點P作PN⊥y軸于點N，過點P作PS⊥x軸于點S，

由△PNF≌△PSA，

PN=PS，可得P點橫縱坐標相等，

故得當點F落在y軸上時， ，解得 ，

可得P3（ ， ），

P4（ ， ），（舍去）．

綜上所述：滿足題意的點P有三個，分別是P1（ ，2），P2（ ，2），P3（ ， ）．

【解析】（1）利用一次函數的解析式當y=0時求出點A的坐標，再將x=-8代入函數解析式求出B的坐標，再利用待定系數法求二次函數解析式解答。
（2）①設z直線AB與y軸交于點M，根據勾股定理求出AM長，及三邊之比，再證明△AOM∽△PED．得出DE∶PE∶PD=3∶4∶5，由點P是直線AB上方的拋物線上一動點，PD⊥x軸，得出P、D兩點橫坐標相同，即可求出PD的長，再根據三角形的周長公式列式整理即可得解，再根據二次函數的最值問題解答。
②當點G在y軸上時，根據正方形的性質，先證△ACP≌△GOA，得PC=AO=2，根據二次函數的解析式建立方程求解，即可求出點P的坐標；
當點F在y軸上時，過點PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，根據正方形的性質，先證△PNF≌△PSA，得出PN=PS，可得P點橫縱坐標相等，建立方程求解，即可求出點P的坐標。
【考點精析】利用二次函數的最值和正方形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．