Question

如圖，在等腰直角△ABC的斜邊AB上取兩點M、N（不與A、B重合）使∠MCN=45°，記AM=m，MN=x，NB=n，試判斷以x、m、n為邊長的三角形的形狀，并給予說明．

Answer 1

分析：把△ACM繞C點逆時針旋轉90°，得△CBD，這樣∠ACM+∠BCN=45°就集中成一個與∠MCN相等的角，在一條直線上的m、x、n集中為△DNB，只需判定△DNB的形狀即可．

解答：解：把△ACM繞C點逆時針旋轉90°，得△CBD，連接DN，
∵△ACM≌△BCD，
∴∠ACM=∠BCD，CM=CD，∠MCN=∠NCD=45°，
在△MNC與△DNC中，
∵

CM=CD ∠MCN=∠NCD CN=CN

，
∴△MNC≌△DNC（SAS），
∴MN=ND，AM=BD=m，
又∵∠DBN=45°+45°=90°，
∴以x、m、n為邊長的三角形的形狀為直角三角形．

點評：本題考查等腰直角三角形的性質，難度較大，注意掌握旋下列情形常實施旋轉變換：（1）圖形中出現等邊三角形或正方形，把旋轉角分別定為60°、90°；（2）圖形中有線段的中點，將圖形繞中點旋轉180°，構造中心對稱全等三角形；（3）圖形中出現有公共端點的線段，將含有相等線段的圖形繞公共端點，旋轉兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合．