Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CE是邊AB上的高，且

AE

CE

=

CE

BE

，CE的延長線交⊙O于點D．
（1）求證：線段AB是⊙O的直徑；
（2）若⊙O的半徑為5，CD=8，求BE的長．

Answer 1

分析：（1）證得∴△ACE∽△CBE后即可證得∠ACE+∠BCE=90°，利用90°的圓周角所對的圓周角是直徑證得線段AB是⊙O的直徑；
（2））根據AB為直徑，AB⊥CD，得到∠AEC=90°，CE=DE．然后根據CD=8，求得CE，然后利用勾股定理求得OE即可求得BE的長．

解答：（1）證明：∵CE是邊AB上的高，
∴∠AEC=∠CEB=90°
∵

AE

CE

=

CE

BE

，
∴△ACE∽△CBE
∴∠ACE+∠BCE=90°
∴線段AB是⊙O的直徑；

（2）解：∵AB為直徑，AB⊥CD，
∴∠AEC=90°，CE=DE．
∵CD=8，
∴CE=

1

2

CD=

1

2

×8=4．
∵OC=5，
∴OE=

OC2-CE2

=

52-42

=3
∴BE=OB-OE=5-3=2．

點評：本題考查了圓的綜合知識，解題的關鍵是正確的理解圓周角定理及相似三角形的證明方法，本題中最重點的知識是證明三角形全等．