Question

2005年10月，繼楊利偉之后，航天員費俊龍、聶海勝又遨游了太空，這大大激發了王紅庭同學愛好天文學的熱情．他通過上網查閱資料了解到，金星和地球的運行軌道可以近似地看作是以太陽為圓心的同心圓，且這兩個同心圓在同一平面上（如圖所示），由于金星和地球的運轉速度不同，所以兩者的位置不斷發生變化，當金星、地球距離最近試，此時叫“下合”；當金星、地球距離最遠時，此時叫“上合”；在地球上觀察金星的視線恰好與金星軌道相切時，此時分別叫“東大距”和“西大距”，已知地球與太陽相距約為15（千萬km），金星與太陽相距約10（千萬km），分別求“下合”、“東大距”、“西大距”、“上合”時，金星、地球的距離（可用根號表示）．
（注：在地球上觀察金星，當金星分別在太陽的左、右兩側且視線恰好在與金星軌道相切的位置時，分別叫做西大距、東大距）

Answer 1

分析：當金星、地球處于“下合”“上合”時，金星分別位于B點、E點；過A作小圓O的切線AC、AD，點C、點D為切點．
當金星、地球處于“東大距”“西大距”時，金星分別在D點、C點，根據地球與太陽的距離和金星與太陽的距離，可將AB和AE的長直接求出；連接OC，根據勾股定理可將AC和AD的長求出．

解答：解：如圖，設太陽所在地為0點，地球所在地為A點，連接AO并延長分別交小圓O于B點、E點．
依題意知，當金星、地球處于“下合”“上合”時，金星分別位于B點、E點．又過A作小圓O的切線AC、AD，點C、點D為切點．當金星、地球處于“東大距”“西大距”時，金星分別在D點、C點．
由題意，知A、B、0、E在同一直線上．
則下合時：AB=OA-OB=5（千萬km），
上合時：AE=OA+OE=25（千萬km）．
連接OC；
∵AC切⊙O于點C，
∴OC⊥AC．
∴西大距時：AC=

152-102

=5

5

（千萬km）．
由對稱性知東大距時：AD=5

5

（千萬km）．
綜上得“下合”“東大距”“西大距”“上合”時金、地距離分別為：5（千萬km）、5

5

（千萬km）、5

5

（千萬km）、25（千萬km）．

點評：本題主要是根據實際情況建立數學模型，運用數學的思想進行解題．