Question

【題目】在 中，，．將線段繞著點逆時針旋轉得到線段，旋轉角為，且，連接、．

（1）如圖 1，當時，的大小為 　 ；

（2）如圖 2，當時，的大小為 　 ；

（提示：可以作點D關于直線BC的對稱點）

（3）當為 　 ° 時，可使得的大小與（1）中的結果相等．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3），，或，．

【解析】

(1)由∠BAC=100，AB=AC，可以確定∠ABC=∠ACB=40，旋轉角為α，α=60°時△ACD是等邊三角形，且AC=AD=AB=CD，知道∠BAD的度數，進而求得∠CBD的大小；

(2) 作點D關于直線BC的對稱點D/，連接A D/、B D/、C D/，根據旋轉和對稱的性質即可得；

(3)結合(1)(2)的解題過程可以發現規律，△ACD是等邊三角形時，CD在△ABC內部時，CD在△ABC外部時，求得答案.

解：(1)∵∠BAC=100，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=40，當α=60時，

由旋轉的性質得AC=CD，

∴△ACD是等邊三角形，

∴∠DAC=60，

∴∠BAD=∠BAC∠DAC=10060=40，

∵AB=AC，AD=AC，

∴AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=(180∠BAD)=70，

∴∠CBD=∠ABD∠ABC=7040=30；

(2)如圖，作點D關于直線BC的對稱點D/，連接A D/、B D/、C D/，

∵∠BAC=100，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=40，當α=20時，

∴∠BCD=20，

由旋轉和對稱的性質可知，∠BCD/=∠BCD=20，AC=CD=CD/，

∴△ACD/是等邊三角形，

由(1)可知∠CBD/=30，

∴∠CBD=∠CBD/=30；

(3)①由(1)可知，∠α=60時可得∠CBD=30；

②由(2)可知，∠α=20時可得∠CBD=30；

③在圖1中以C為圓心CD為半徑畫圓弧交BD的延長線于點D1，連接CD1，

∵∠CDD1=∠CBD+∠BCD=30+=50，

∴∠DCD1=1802∠CDD1=180100=80，

∴∠α=60+∠DCD1=140；

④在圖2中以C為圓心CD為半徑畫圓弧交BD的延長線于點D2，連接CD2，

∵∠CDD2=∠CBD+∠BCD=30+=50，

∴∠DCD2=1802∠CDD2=180100=80，

∴∠ACD2=∠DCD2-∠ACD=80-20=60，

∴∠α=360-60=300.

綜上所述,α為20、60、140、300時，∠CBD=30.

故答案為：（1） ；（2） ；（3），，或，．