Question

【題目】如圖，已知點A（﹣4，8）和點B（2，n）在拋物線y=ax2上．

（1）求a的值及點B關于x軸對稱點P的坐標，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標；

（2）平移拋物線y=ax2，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，點C（﹣2，0）和點D（﹣4，0）是x軸上的兩個定點．

①當拋物線向左平移到某個位置時，A′C+CB′最短，求此時拋物線的函數解析式；

②當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a= ，P的坐標為（2，﹣2），Q的坐標是（，0）；（2）①；②存在，．

【解析】試題分析：（1）把（﹣4，8）代入y=ax2可求得a的值，把x=2代入所求的拋物線解析式，可得n的值，那么P的坐標為2，縱坐標為﹣n，求得AP與x軸的交點即為Q的坐標；

（2）A′C+CB′最短，說明拋物線向左平移了線段CQ的距離，用頂點式設出相應的函數解析式，把新頂點坐標代入即可；

（3）左右平移時，使A′D+DB′′最短即可，那么作出點A′關于x軸對稱點的坐標為A′′，得到直線A′′B′′的解析式，讓y=0，求得相應的點的坐標；進而得到拋物線頂點平移的規律，用頂點式設出相應的函數解析式，把新頂點坐標代入即可．

試題解析：解：（1）將點A（﹣4，8）的坐標代入y=ax2，解得a=；

將點B（2，n）的坐標代入y=x2，求得點B的坐標為（2，2），則點B關于x軸對稱點P的坐標為（2，﹣2），設直線AP的解析式為y=kx+b，，解得：，∴直線AP的解析式是y=﹣x+，令y=0，得：x=．

即所求點Q的坐標是（，0）；

（2）①CQ=|﹣2﹣|=，

故將拋物線y=x2向左平移個單位時，A′C+CB′最短，

此時拋物線的函數解析式為y=（x+）2；

②左右平移拋物線y=x2．∵線段A′B′和CD的長是定值，∴要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使A′D+CB′最短；

第一種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有A′D+CB′＞AD+CB，∴不存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短；

第二種情況：設拋物線向左平移了b個單位，則點A′和點B′的坐標分別為A′（﹣4﹣b，8）和B′（2﹣b，2）．∵CD=2，∴將點B′向左平移2個單位得B′′（﹣b，2），要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短，點A′關于x軸對稱點的坐標為A′′（﹣4﹣b，﹣8）．∵直線A′′B′′的解析式為y=x+b+2．要使A′D+DB′′最短，點D應在直線A′′B′′上，將點D（﹣4，0）代入直線A′′B′′的解析式，解得：b=，∴將拋物線向左平移時，存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短，此時拋物線的函數解析式為y=（x+）2．