Question

在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，取一把含30°角的三角板，把30°角的頂點放在BC上一點D處，三角板繞點D旋轉．
（1）當三角板的兩邊分別交邊AB、AC于點E、F時，求證：△BDE∽△CFD．
（2）當三角板的兩邊分別交邊AB、邊CA的延長線于點E、F時，上述結論還成立嗎？（直接回答，無需證明）
（3）當D點的位置是BC的中點時，連接E，F，△BDE與△DFE是否相似？并予以證明．
（4）若三角板的一邊過點A（E與A重合），另一邊與AC交于F，設BD=x，AF=y，求y關于x的函數解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）若要證明△BDE∽△CFD，只要找到兩對相等的角即可，利用等腰三角形的性質和30°角的特點證明即可；
（2）△BDE與△CFD相似，證明思路和（1）相同；
（3）△BDE與△DFE相似，根據由一對角相等以及夾邊的比值相等的兩個三角形相似證明即可；
（4）由（1）可知△ABD∽△DFC，得到，根據勾股定理求出底邊BC的長，因為BD=x，所以CD=BC-x，AF=y，則CF=8-y，代入比例式整理即可得到y關于x的函數解析式．
解答：（1）證明：∵AB=AC=8，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°
∴∠BDE+∠BED=150°，
∵∠EDF=30°，
∴∠BDE+∠CDF=150°，
∴∠BED=∠CDF，
∴△BDE∽△CFD；

（2）解：△BDE與△CFD相似，理由如下：
∵AB=AC=8，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BDE+∠BED=150°，
∵∠EDF=30°，
∴∠BDE+∠CDF=150°，
∴∠BED=∠CDF，
∴△BDE∽△CFD；

（3）△BDE與△DFE相似，理由如下：
∵△BDE∽△CFD，
∴，
∵BD=CD，
∴，
∴，
又∵∠B=∠FDC=30°，
∴△BDE∽△DFE；

（4）由（1）可知△ABD∽△DFC，
∴，
∵AB=AC=8，
∴BC=8，
∵BD=x，AF=y，
∴CD=8-x，CF=8-y，
∴，
∴y=x²-x+8．
點評：本題考查了等腰三角形的性質、相似三角形的判定和性質，以及由相似三角形的性質：對應邊的比值相等得到邊長之間的函數關系，題目的綜合性不小，難度中等．